Übungsblatt 7, b)

Energie

r=k/(1+e Cos[ϕ]);
R=r{Cos[ϕ],Sin[ϕ],0};

r1=m2/M R;
r2=-m1/M R;

M=m1+m2;
μ=m1 m2/M;

Mij=m1 TensorProduct[r1,r1]+m2 TensorProduct[r2,r2]//Simplify;
Mij//MatrixForm

?Tr

Qij=Mij-IdentityMatrix[3]/3Tr[Mij];

ϕdot=L/(μ r^2);
dt[expr_]:=D[expr,ϕ]ϕdot;

erste Zeitableitung:

dt[Qij]//Simplify
dt@Qij//Simplify

ppQij=dt@dt@Qij//Simplify;

pppQij=dt@dt@dt@Qij//Simplify;
pppQij//MatrixForm

k=a(1-e^2);
L=Sqrt[μ M k];
T=2π Sqrt[a^3/M];

$Assumptions={a≥0,e≥0,e≤1,m1>0,m2>0};

average[expr_]:=1/T Integrate[expr/ϕdot,{ϕ,0,2π}]//Simplify;

Ergebnis für (1)

-1/5 average[Tr[pppQij.pppQij]//Simplify]

Drehimpuls

LC=LeviCivitaTensor[3];

LCQQ[i_]:=Sum[ LC[[i,m,l]] ppQij[[m,j]] pppQij[[l,j]],{j,1,3},{m,1,3},{l,1,3}];

LCQQ[1]
LCQQ[2]

f[x]
x//f

Ergebnis für (2)

-2/5LCQQ[3]//average